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计算题

二重积分问题一

题目

我们要计算:

D2x2ydxdy\iint_D 2x^2 y \, dxdy

其中,区域 DDxx-轴和抛物线 y=1x2y = 1 - x^2 围成。

解题步骤:

  1. 确定积分区域 DD

    • y=1x2y = 1 - x^2 是一个向下开的抛物线,其顶点为 (0,1)(0, 1),与 xx-轴的交点为 (1,0)(-1, 0)(1,0)(1, 0)
    • 因此,积分区域 DD 是由 xx-轴 (y=0y = 0) 和抛物线 y=1x2y = 1 - x^2 围成的区域。
  2. 表达积分区域:

    • 对于 xx,积分区间为 [1,1][-1, 1]
    • 对于 yy,在固定的 xx 下,yy001x21 - x^2
    • 因此,积分区域 DD 可以用以下不等式描述:
      1x1,0y1x2.-1 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1 - x^2.
  3. 写出二重积分:
    按照积分次序 dydxdydx,二重积分可以写为:
    D2x2ydxdy=1101x22x2ydydx.\iint_D 2x^2 y \, dxdy = \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy dx.

  4. 计算内层积分(对 yy 积分):
    yy 积分,积分结果为:
    01x22x2ydy=2x201x2ydy=2x2[y22]01x2.\int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy = 2x^2 \int_0^{1-x^2} y \, dy = 2x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x^2}.
    计算上下限:
    [y22]01x2=(1x2)220=(1x2)22.\left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x^2} = \frac{(1-x^2)^2}{2} - 0 = \frac{(1-x^2)^2}{2}.
    因此,内层积分的结果为:
    01x22x2ydy=x2(1x2)2.\int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy = x^2 (1-x^2)^2.

  5. 计算外层积分(对 xx 积分):
    将结果代入外层积分,得到:
    11x2(1x2)2dx.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx.
    先展开 (1x2)2(1-x^2)^2
    (1x2)2=12x2+x4.(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4.
    因此:
    x2(1x2)2=x2(12x2+x4)=x22x4+x6.x^2 (1-x^2)^2 = x^2 (1 - 2x^2 + x^4) = x^2 - 2x^4 + x^6.
    外层积分变为:
    11x2(1x2)2dx=11(x22x4+x6)dx.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) \, dx.

  6. 分开积分:
    11(x22x4+x6)dx=11x2dx211x4dx+11x6dx.\int_{-1}^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) \, dx = \int_{-1}^1 x^2 \, dx - 2 \int_{-1}^1 x^4 \, dx + \int_{-1}^1 x^6 \, dx.
    因为 xnx^n 是偶函数(n=2,4,6n = 2, 4, 6),所以积分范围对称于原点,可以计算为两倍的从 0011 的积分:
    11xndx=201xndx.\int_{-1}^1 x^n \, dx = 2 \int_0^1 x^n \, dx.

    逐项计算:

    • 对于 11x2dx\int_{-1}^1 x^2 \, dx
      01x2dx=[x33]01=13.\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
      因此:
      11x2dx=213=23.\int_{-1}^1 x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

    • 对于 11x4dx\int_{-1}^1 x^4 \, dx
      01x4dx=[x55]01=15.\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}.
      因此:
      11x4dx=215=25.\int_{-1}^1 x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}.

    • 对于 11x6dx\int_{-1}^1 x^6 \, dx
      01x6dx=[x77]01=17.\int_0^1 x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}.
      因此:
      11x6dx=217=27.\int_{-1}^1 x^6 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.

  7. 合并结果:
    将各项代入:
    11x2(1x2)2dx=23225+27.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{7}.
    化简:
    2345+27=140210168210+60210=32210=16105.\frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7} = \frac{140}{210} - \frac{168}{210} + \frac{60}{210} = \frac{32}{210} = \frac{16}{105}.

因此,原二重积分的值为:

16105\boxed{\frac{16}{105}}

应用题


设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转,求旋转所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.

设矩形的长为 ll,宽为 ww,矩形的周长为 2,即:

2l+2w=2l+w=12l + 2w = 2 \quad \Rightarrow \quad l + w = 1

假设矩形绕其宽 ww 旋转,形成的圆柱体的半径为 l2\frac{l}{2},高为 ww。圆柱体的体积公式为:

V=πr2h=π(l2)2w=πl2w4V = \pi r^2 h = \pi \left( \frac{l}{2} \right)^2 w = \frac{\pi l^2 w}{4}

由于 l+w=1l + w = 1,可以将 l=1wl = 1 - w 代入体积公式中,得到:

V(w)=π(1w)2w4V(w) = \frac{\pi (1 - w)^2 w}{4}

为了找到最大体积,我们对 V(w)V(w) 求导,并令其为零。首先,展开并简化 V(w)V(w)

V(w)=π(12w+w2)w4=πw(12w+w2)4V(w) = \frac{\pi (1 - 2w + w^2) w}{4} = \frac{\pi w (1 - 2w + w^2)}{4}

V(w)V(w) 关于 ww 求导数:

dV(w)dw=π4[(12w+w2)+w(2+2w)]\frac{dV(w)}{dw} = \frac{\pi}{4} \left[ (1 - 2w + w^2) + w(-2 + 2w) \right]

化简得:

dV(w)dw=π4[12w+w22w+2w2]=π4(14w+3w2)\frac{dV(w)}{dw} = \frac{\pi}{4} \left[ 1 - 2w + w^2 - 2w + 2w^2 \right] = \frac{\pi}{4} (1 - 4w + 3w^2)

令导数为零:

14w+3w2=01 - 4w + 3w^2 = 0

解这个二次方程:

3w24w+1=03w^2 - 4w + 1 = 0

使用求根公式:

w=(4)±(4)243123=4±16126=4±46=4±26w = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}

所以:

w=66=1w=26=13w = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{或} \quad w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

因为 w=1w = 1 对应的矩形面积为零,所以我们选择 w=13w = \frac{1}{3}

此时,l=1w=23l = 1 - w = \frac{2}{3}

矩形的面积为:

A=lw=2313=29A = l \cdot w = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

w=13w = \frac{1}{3} 代入体积公式中,圆柱体的体积为:

V=πl2w4=π(23)2134=π49134=π4274=π27V = \frac{\pi l^2 w}{4} = \frac{\pi \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \frac{1}{3}}{4} = \frac{\pi \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}}{4} = \frac{\pi \cdot \frac{4}{27}}{4} = \frac{\pi}{27}

因此,当矩形的面积为 29\frac{2}{9} 时,旋转所得圆柱体的体积最大,最大体积为 π27\frac{\pi}{27}