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计算题

二重积分问题一

题目

我们要计算：

∬D2x2y dxdy\iint_D 2x^2 y \, dxdy

其中，区域 DD 由 xx-轴和抛物线 y=1−x2y = 1 - x^2 围成。

解题步骤：

  1. 确定积分区域 DD：

    • y=1−x2y = 1 - x^2 是一个向下开的抛物线，其顶点为 (0,1)(0, 1)，与 xx-轴的交点为 (−1,0)(-1, 0) 和 (1,0)(1, 0)。
    • 因此，积分区域 DD 是由 xx-轴 (y=0y = 0) 和抛物线 y=1−x2y = 1 - x^2 围成的区域。

  2. 表达积分区域：

    • 对于 xx，积分区间为 [−1,1][-1, 1]。
    • 对于 yy，在固定的 xx 下，yy 从 00 到 1−x21 - x^2。
    • 因此，积分区域 DD 可以用以下不等式描述：
      −1≤x≤1,0≤y≤1−x2.-1 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1 - x^2.

  3. 写出二重积分：
    按照积分次序 dydxdydx，二重积分可以写为：
    ∬D2x2y dxdy=∫−11∫01−x22x2y dydx.\iint_D 2x^2 y \, dxdy = \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy dx.

  4. 计算内层积分（对 yy 积分）：
    对 yy 积分，积分结果为：
    ∫01−x22x2y dy=2x2∫01−x2y dy=2x2[y22]01−x2.\int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy = 2x^2 \int_0^{1-x^2} y \, dy = 2x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x^2}.
    计算上下限：
    [y22]01−x2=(1−x2)22−0=(1−x2)22.\left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x^2} = \frac{(1-x^2)^2}{2} - 0 = \frac{(1-x^2)^2}{2}.
    因此，内层积分的结果为：
    ∫01−x22x2y dy=x2(1−x2)2.\int_0^{1-x^2} 2x^2 y \, dy = x^2 (1-x^2)^2.

  5. 计算外层积分（对 xx 积分）：
    将结果代入外层积分，得到：
    ∫−11x2(1−x2)2 dx.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx.
    先展开 (1−x2)2(1-x^2)^2：
    (1−x2)2=1−2x2+x4.(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4.
    因此：
    x2(1−x2)2=x2(1−2x2+x4)=x2−2x4+x6.x^2 (1-x^2)^2 = x^2 (1 - 2x^2 + x^4) = x^2 - 2x^4 + x^6.
    外层积分变为：
    ∫−11x2(1−x2)2 dx=∫−11(x2−2x4+x6) dx.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) \, dx.

  6. 分开积分：
    ∫−11(x2−2x4+x6) dx=∫−11x2 dx−2∫−11x4 dx+∫−11x6 dx.\int_{-1}^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) \, dx = \int_{-1}^1 x^2 \, dx - 2 \int_{-1}^1 x^4 \, dx + \int_{-1}^1 x^6 \, dx.
    因为 xnx^n 是偶函数（n=2,4,6n = 2, 4, 6），所以积分范围对称于原点，可以计算为两倍的从 00 到 11 的积分：
    ∫−11xn dx=2∫01xn dx.\int_{-1}^1 x^n \, dx = 2 \int_0^1 x^n \, dx.

    逐项计算：

    • 对于 ∫−11x2 dx\int_{-1}^1 x^2 \, dx：
      ∫01x2 dx=[x33]01=13.\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
      因此：
      ∫−11x2 dx=2⋅13=23.\int_{-1}^1 x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

    • 对于 ∫−11x4 dx\int_{-1}^1 x^4 \, dx：
      ∫01x4 dx=[x55]01=15.\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}.
      因此：
      ∫−11x4 dx=2⋅15=25.\int_{-1}^1 x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}.

    • 对于 ∫−11x6 dx\int_{-1}^1 x^6 \, dx：
      ∫01x6 dx=[x77]01=17.\int_0^1 x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{7}.
      因此：
      ∫−11x6 dx=2⋅17=27.\int_{-1}^1 x^6 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.

  7. 合并结果：
    将各项代入：
    ∫−11x2(1−x2)2 dx=23−2⋅25+27.\int_{-1}^1 x^2 (1-x^2)^2 \, dx = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{7}.
    化简：
    23−45+27=140210−168210+60210=32210=16105.\frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7} = \frac{140}{210} - \frac{168}{210} + \frac{60}{210} = \frac{32}{210} = \frac{16}{105}.

因此，原二重积分的值为：

16105\boxed{\frac{16}{105}}

应用题

设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求旋转所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.

设矩形的长为 ll，宽为 ww，矩形的周长为 2，即：

2l+2w=2⇒l+w=12l + 2w = 2 \quad \Rightarrow \quad l + w = 1

假设矩形绕其宽 ww 旋转，形成的圆柱体的半径为 l2\frac{l}{2}，高为 ww。圆柱体的体积公式为：

V=πr2h=π(l2)2w=πl2w4V = \pi r^2 h = \pi \left( \frac{l}{2} \right)^2 w = \frac{\pi l^2 w}{4}

由于 l+w=1l + w = 1，可以将 l=1−wl = 1 - w 代入体积公式中，得到：

V(w)=π(1−w)2w4V(w) = \frac{\pi (1 - w)^2 w}{4}

为了找到最大体积，我们对 V(w)V(w) 求导，并令其为零。首先，展开并简化 V(w)V(w)：

V(w)=π(1−2w+w2)w4=πw(1−2w+w2)4V(w) = \frac{\pi (1 - 2w + w^2) w}{4} = \frac{\pi w (1 - 2w + w^2)}{4}

对 V(w)V(w) 关于 ww 求导数：

dV(w)dw=π4[(1−2w+w2)+w(−2+2w)]\frac{dV(w)}{dw} = \frac{\pi}{4} \left[ (1 - 2w + w^2) + w(-2 + 2w) \right]

化简得：

dV(w)dw=π4[1−2w+w2−2w+2w2]=π4(1−4w+3w2)\frac{dV(w)}{dw} = \frac{\pi}{4} \left[ 1 - 2w + w^2 - 2w + 2w^2 \right] = \frac{\pi}{4} (1 - 4w + 3w^2)

令导数为零：

1−4w+3w2=01 - 4w + 3w^2 = 0

解这个二次方程：

3w2−4w+1=03w^2 - 4w + 1 = 0

使用求根公式：

w=−(−4)±(−4)2−4⋅3⋅12⋅3=4±16−126=4±46=4±26w = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}

所以：

w=66=1或w=26=13w = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{或} \quad w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

因为 w=1w = 1 对应的矩形面积为零，所以我们选择 w=13w = \frac{1}{3}。

此时，l=1−w=23l = 1 - w = \frac{2}{3}。

矩形的面积为：

A=l⋅w=23⋅13=29A = l \cdot w = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

将 w=13w = \frac{1}{3} 代入体积公式中，圆柱体的体积为：

V=πl2w4=π(23)2⋅134=π⋅49⋅134=π⋅4274=π27V = \frac{\pi l^2 w}{4} = \frac{\pi \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \frac{1}{3}}{4} = \frac{\pi \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3}}{4} = \frac{\pi \cdot \frac{4}{27}}{4} = \frac{\pi}{27}

因此，当矩形的面积为 29\frac{2}{9} 时，旋转所得圆柱体的体积最大，最大体积为 π27\frac{\pi}{27}。