题目
计算题
二重积分问题一
题目
我们要计算:
∬D2x2ydxdy
其中,区域 D 由 x-轴和抛物线 y=1−x2 围成。
解题步骤:
-
确定积分区域 D:
- y=1−x2 是一个向下开的抛物线,其顶点为 (0,1),与 x-轴的交点为 (−1,0) 和 (1,0)。
- 因此,积分区域 D 是由 x-轴 (y=0) 和抛物线 y=1−x2 围成的区域。
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表达积分区域:
- 对于 x,积分区间为 [−1,1]。
- 对于 y,在固定的 x 下,y 从 0 到 1−x2。
- 因此,积分区域 D 可以用以下不等式描述:
−1≤x≤1,0≤y≤1−x2.
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写出二重积分:
按照积分次序 dydx,二重积分可以写为:
∬D2x2ydxdy=∫−11∫01−x22x2ydydx.
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计算内层积分(对 y 积分):
对 y 积分,积分结果为:
∫01−x22x2ydy=2x2∫01−x2ydy=2x2[2y2]01−x2.
计算上下限:
[2y2]01−x2=2(1−x2)2−0=2(1−x2)2.
因此,内层积分的结果为:
∫01−x22x2ydy=x2(1−x2)2.
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计算外层积分(对 x 积分):
将结果代入外层积分,得到:
∫−11x2(1−x2)2dx.
先展开 (1−x2)2:
(1−x2)2=1−2x2+x4.
因此:
x2(1−x2)2=x2(1−2x2+x4)=x2−2x4+x6.
外层积分变为:
∫−11x2(1−x2)2dx=∫−11(x2−2x4+x6)dx.
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分开积分:
∫−11(x2−2x4+x6)dx=∫−11x2dx−2∫−11x4dx+∫−11x6dx.
因为 xn 是偶函数(n=2,4,6),所以积分范围对称于原点,可以计算为两倍的从 0 到 1 的积分:
∫−11xndx=2∫01xndx.
逐项计算:
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对于 ∫−11x2dx:
∫01x2dx=[3x3]01=31.
因此:
∫−11x2dx=2⋅31=32.
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对于 ∫−11x4dx:
∫01x4dx=[5x5]01=51.
因此:
∫−11x4dx=2⋅51=52.
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对于 ∫−11x6dx:
∫01x6dx=[7x7]01=71.
因此:
∫−11x6dx=2⋅71=72.
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合并结果:
将各项代入:
∫−11x2(1−x2)2dx=32−2⋅52+72.
化简:
32−54+72=210140−210168+21060=21032=10516.
因此,原二重积分的值为:
10516
应用题
设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转,求旋转所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.
设矩形的长为 l,宽为 w,矩形的周长为 2,即:
2l+2w=2⇒l+w=1
假设矩形绕其宽 w 旋转,形成的圆柱体的半径为 2l,高为 w。圆柱体的体积公式为:
V=πr2h=π(2l)2w=4πl2w
由于 l+w=1,可以将 l=1−w 代入体积公式中,得到:
V(w)=4π(1−w)2w
为了找到最大体积,我们对 V(w) 求导,并令其为零。首先,展开并简化 V(w):
V(w)=4π(1−2w+w2)w=4πw(1−2w+w2)
对 V(w) 关于 w 求导数:
dwdV(w)=4π[(1−2w+w2)+w(−2+2w)]
化简得:
dwdV(w)=4π[1−2w+w2−2w+2w2]=4π(1−4w+3w2)
令导数为零:
1−4w+3w2=0
解这个二次方程:
3w2−4w+1=0
使用求根公式:
w=2⋅3−(−4)±(−4)2−4⋅3⋅1=64±16−12=64±4=64±2
所以:
w=66=1或w=62=31
因为 w=1 对应的矩形面积为零,所以我们选择 w=31。
此时,l=1−w=32。
矩形的面积为:
A=l⋅w=32⋅31=92
将 w=31 代入体积公式中,圆柱体的体积为:
V=4πl2w=4π(32)2⋅31=4π⋅94⋅31=4π⋅274=27π
因此,当矩形的面积为 92 时,旋转所得圆柱体的体积最大,最大体积为 27π。