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行列式性质

行列式(determinant)是线性代数中的一个重要概念,它具有以下一些主要性质:

  1. 交换性:行列式的值与行和列的交换无关。
  2. 乘积性质:矩阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积,即 det(AB)=det(A)det(B)\text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)
  3. 转置不变性:矩阵转置不改变行列式的值,即 det(A)=det(AT)\text{det}(A) = \text{det}(A^T)
  4. 行列式的加法性质:行列式关于行或列是线性的,即如果把某行(列)看作其他行(列)的线性组合,则行列式等于对应行(列)线性组合的行列式。
  5. 单位矩阵的行列式:单位矩阵的行列式等于1。
  6. 行列交换的影响:如果交换矩阵的两行(列),行列式的符号会改变。
  7. 齐次性:如果矩阵的一行(列)乘以一个数k,那么行列式也乘以k。
  8. 零行(列)判别:如果矩阵有一行(列)全为零,则行列式为零。
  9. 相同行(列)判别:如果矩阵有两行(列)相同,则行列式为零。

行列式定理

关于行列式,有几个重要的定理值得一提:

  1. 拉普拉斯定理(Laplace Expansion Theorem):行列式可以通过任意一行或一列展开,得到子式的行列式与对应的代数余子式的乘积之和。例如,对于矩阵 AA

    det(A)=j=1n(1)i+jaijdet(Aij)\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \text{det}(A_{ij})

    其中, AijA_{ij} 是通过删除第 ii 行和第 jj 列得到的矩阵。

  2. 克拉默法则(Cramer's Rule):用于解线性方程组。如果 AX=BAX = B 为一个 nn 阶线性方程组,且 AA 是可逆矩阵,那么每个未知数 xix_i 可以通过以下公式得到:

    xi=det(Ai)det(A)x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}

    其中, AiA_i 是将矩阵 AA 的第 ii 列替换为向量 BB 得到的矩阵。

  3. 线性变换的行列式:如果线性变换 TT 由矩阵 AA 表示,则这个变换的行列式 det(T)\text{det}(T) 就是矩阵 AA 的行列式 det(A)\text{det}(A)

  4. 逆矩阵的行列式:若 AA 是一个可逆矩阵,则 AA 的逆矩阵的行列式为原矩阵行列式的倒数,即:

    det(A1)=1det(A)\text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)}

  5. 多重线性性质:行列式是关于其行或列的多重线性函数,这意味着如果矩阵的某行或某列是其他行或列的线性组合,则行列式等于零。


行列式初等变换

行列式的初等变换有助于简化行列式的计算。以下是三种主要的初等变换及其对行列式的影响:

  1. 行交换(Row Swap):交换矩阵的两行。这个操作会改变行列式的符号,即:

    det(A)=det(A)\text{det}(A') = -\text{det}(A)

  2. 行倍加(Scalar Multiplication of a Row):将矩阵的一行乘以一个非零常数 kk。这个操作会使行列式乘以该常数,即:

    det(A)=kdet(A)\text{det}(A') = k \cdot \text{det}(A)

  3. 行加减(Row Addition/Subtraction):将一行的倍数加到另一行上。这种操作不会改变行列式的值,即:

    det(A)=det(A)\text{det}(A') = \text{det}(A)


矩阵

这是因为 ATAA^T A 是矩阵 AA 与其转置矩阵 ATA^T 相乘所得的结果。在这种情况下,不论矩阵 AA 是什么样的,结果矩阵 ATAA^T A 都必然是对称的。

这是因为对于任何矩阵 AA,矩阵 ATAA^T A 满足以下性质:
(ATA)T=AT(AT)T=ATA(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A
这意味着 ATAA^T A 的转置等于它本身,从而 ATAA^T A 是对称矩阵。