行列式性质
行列式(determinant)是线性代数中的一个重要概念,它具有以下一些主要性质:
- 交换性:行列式的值与行和列的交换无关。
- 乘积性质:矩阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积,即 det(AB)=det(A)⋅det(B)。
- 转置不变性:矩阵转置不改变行列式的值,即 det(A)=det(AT)。
- 行列式的加法性质:行列式关于行或列是线性的,即如果把某行(列)看作其他行(列)的线性组合,则行列式等于对应行(列)线性组合的行列式。
- 单位矩阵的行列式:单位矩阵的行列式等于1。
- 行列交换的影响:如果交换矩阵的两行(列),行列式的符号会改变。
- 齐次性:如果矩阵的一行(列)乘以一个数k,那么行列式也乘以k。
- 零行(列)判别:如果矩阵有一行(列)全为零,则行列式为零。
- 相同行(列)判别:如果矩阵有两行(列)相同,则行列式为零。
行列式定理
关于行列式,有几个重要的定理值得一提:
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拉普拉斯定理(Laplace Expansion Theorem):行列式可以通过任意一行或一列展开,得到子式的行列式与对应的代数余子式的乘积之和。例如,对于矩阵 A:
det(A)=j=1∑n(−1)i+jaijdet(Aij)
其中, Aij 是通过删除第 i 行和第 j 列得到的矩阵。
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克拉默法则(Cramer's Rule):用于解线性方程组。如果 AX=B 为一个 n 阶线性方程组,且 A 是可逆矩阵,那么每个未知数 xi 可以通过以下公式得到:
xi=det(A)det(Ai)
其中, Ai 是将矩阵 A 的第 i 列替换为向量 B 得到的矩阵。
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线性变换的行列式:如果线性变换 T 由矩阵 A 表示,则这个变换的行列式 det(T) 就是矩阵 A 的行列式 det(A)。
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逆矩阵的行列式:若 A 是一个可逆矩阵,则 A 的逆矩阵的行列式为原矩阵行列式的倒数,即:
det(A−1)=det(A)1
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多重线性性质:行列式是关于其行或列的多重线性函数,这意味着如果矩阵的某行或某列是其他行或列的线性组合,则行列式等于零。
行列式初等变换
行列式的初等变换有助于简化行列式的计算。以下是三种主要的初等变换及其对行列式的影响:
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行交换(Row Swap):交换矩阵的两行。这个操作会改变行列式的符号,即:
det(A′)=−det(A)
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行倍加(Scalar Multiplication of a Row):将矩阵的一行乘以一个非零常数 k。这个操作会使行列式乘以该常数,即:
det(A′)=k⋅det(A)
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行加减(Row Addition/Subtraction):将一行的倍数加到另一行上。这种操作不会改变行列式的值,即:
det(A′)=det(A)
矩阵
这是因为 ATA 是矩阵 A 与其转置矩阵 AT 相乘所得的结果。在这种情况下,不论矩阵 A 是什么样的,结果矩阵 ATA 都必然是对称的。
这是因为对于任何矩阵 A,矩阵 ATA 满足以下性质:
(ATA)T=AT(AT)T=ATA
这意味着 ATA 的转置等于它本身,从而 ATA 是对称矩阵。