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行列式性质

行列式（determinant）是线性代数中的一个重要概念，它具有以下一些主要性质：

  1. 交换性：行列式的值与行和列的交换无关。
  2. 乘积性质：矩阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积，即 det(AB)=det(A)⋅det(B)\text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)。
  3. 转置不变性：矩阵转置不改变行列式的值，即 det(A)=det(AT)\text{det}(A) = \text{det}(A^T)。
  4. 行列式的加法性质：行列式关于行或列是线性的，即如果把某行（列）看作其他行（列）的线性组合，则行列式等于对应行（列）线性组合的行列式。
  5. 单位矩阵的行列式：单位矩阵的行列式等于1。
  6. 行列交换的影响：如果交换矩阵的两行（列），行列式的符号会改变。
  7. 齐次性：如果矩阵的一行（列）乘以一个数k，那么行列式也乘以k。
  8. 零行（列）判别：如果矩阵有一行（列）全为零，则行列式为零。
  9. 相同行（列）判别：如果矩阵有两行（列）相同，则行列式为零。

行列式定理

关于行列式，有几个重要的定理值得一提：

  1. 拉普拉斯定理（Laplace Expansion Theorem）：行列式可以通过任意一行或一列展开，得到子式的行列式与对应的代数余子式的乘积之和。例如，对于矩阵 AA：

    det(A)=∑j=1n(−1)i+jaijdet(Aij)\text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \text{det}(A_{ij})

    其中， AijA_{ij} 是通过删除第 ii 行和第 jj 列得到的矩阵。

  2. 克拉默法则（Cramer's Rule）：用于解线性方程组。如果 AX=BAX = B 为一个 nn 阶线性方程组，且 AA 是可逆矩阵，那么每个未知数 xix_i 可以通过以下公式得到：

    xi=det(Ai)det(A)x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}

    其中， AiA_i 是将矩阵 AA 的第 ii 列替换为向量 BB 得到的矩阵。

  3. 线性变换的行列式：如果线性变换 TT 由矩阵 AA 表示，则这个变换的行列式 det(T)\text{det}(T) 就是矩阵 AA 的行列式 det(A)\text{det}(A)。

  4. 逆矩阵的行列式：若 AA 是一个可逆矩阵，则 AA 的逆矩阵的行列式为原矩阵行列式的倒数，即：

    det(A−1)=1det(A)\text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)}

  5. 多重线性性质：行列式是关于其行或列的多重线性函数，这意味着如果矩阵的某行或某列是其他行或列的线性组合，则行列式等于零。

行列式初等变换

行列式的初等变换有助于简化行列式的计算。以下是三种主要的初等变换及其对行列式的影响：

  1. 行交换（Row Swap）：交换矩阵的两行。这个操作会改变行列式的符号，即：

    det(A′)=−det(A)\text{det}(A') = -\text{det}(A)

  2. 行倍加（Scalar Multiplication of a Row）：将矩阵的一行乘以一个非零常数 kk。这个操作会使行列式乘以该常数，即：

    det(A′)=k⋅det(A)\text{det}(A') = k \cdot \text{det}(A)

  3. 行加减（Row Addition/Subtraction）：将一行的倍数加到另一行上。这种操作不会改变行列式的值，即：

    det(A′)=det(A)\text{det}(A') = \text{det}(A)

矩阵

这是因为 ATAA^T A 是矩阵 AA 与其转置矩阵 ATA^T 相乘所得的结果。在这种情况下，不论矩阵 AA 是什么样的，结果矩阵 ATAA^T A 都必然是对称的。

这是因为对于任何矩阵 AA，矩阵 ATAA^T A 满足以下性质：
(ATA)T=AT(AT)T=ATA(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A
这意味着 ATAA^T A 的转置等于它本身，从而 ATAA^T A 是对称矩阵。